高等数学??第一章~第三节~极限??闭区间上连续函数的性质

**高等数学 第一章 第三节 极限**

**3.1闭区间上连续函数的性质**

在本节中，我们将讨论闭区间上连续函数的一些重要性质。

**定义3.1**

设 $f(x)$ 为闭区间 $[a,b]$ 上的实值函数。若对于每个 $xin[a,b]$,都有 $lim_{hto0} f(x+h) = f(x)$,则称 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续。

**性质3.1**

设 $f(x)$ 为闭区间 $[a,b]$ 上的实值函数。若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则对于每个 $xin[a,b]$,都有：

* **一致收敛性**：$lim_{ntoinfty} f(x_n) = f(x)$，其中 ${x_n}$ 是任意一个从 $x$ 开始的序列。
* **连续性**：对于每个 $xin[a,b]$,都有 $lim_{hto0} f(x+h) = f(x)$。

**证明**

设 $f(x)$ 为闭区间 $[a,b]$ 上的实值函数。若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则对于每个 $xin[a,b]$,都有：

* **一致收敛性**：令 ${x_n}$ 为任意一个从 $x$ 开始的序列。由于 $f(x)$ 连续，因此对于每个 $n$,都有 $lim_{hto0} f(x_n+h) = f(x_n)$。因此，$lim_{ntoinfty} f(x_n) = lim_{ntoinfty} f(x_n) = f(x)$。
* **连续性**：对于每个 $xin[a,b]$,都有 $lim_{hto0} f(x+h) = f(x)$。

**例3.1**

设 $f(x) = x^2$ 为闭区间 $[-1,1]$ 上的实值函数。则 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上连续，因为对于每个 $xin[-1,1]$,都有 $lim_{hto0} f(x+h) = f(x)$。

import numpy as npdef f(x):
 return x**2# 检查连续性x = np.linspace(-1,1,100)
h =0.01for i in range(len(x)):
 if abs(f(x[i] + h) - f(x[i])) >1e-6:
 print("f(x) 不连续")
 breakelse:
 print("f(x) 连续")

import numpy as npdef f(x):
 return1 / x# 检查连续性x = np.linspace(0.01,1,100)
h =0.01for i in range(len(x)):
 if abs(f(x[i] + h) - f(x[i])) >1e-6:
 print("f(x) 不连续")
 breakelse:
 print("f(x) 连续")