数值线性代数: 共轭梯度法

**共轭梯度法**

共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）是解决线性方程组的一种高效算法。它通过迭代的方式找到最优解，特别适用于稀疏矩阵的情况。

**问题描述**

假设我们有一个线性方程组：

Ax = b其中 A 是一个 n x n 的矩阵，x 和 b 是 n x1 的向量。我们的目标是求解 x。

**共轭梯度法的基本思想**

共轭梯度法基于以下几个关键点：

* **迭代**: 共轭梯度法通过迭代的方式找到最优解。
* **共轭性**: 每次迭代中，我们选择一个新的方向向量，使得它与前一次迭代中的方向向量共轭（即内积为零）。
* **梯度下降**: 在每一步中，我们沿着新方向向量进行梯度下降，以减少目标函数的值。

**共轭梯度法的公式**

假设我们已经找到一个初始解 x0，共轭梯度法的迭代过程如下：

1. **计算残差**: r0 = b - Ax02. **选择方向向量**: p0 = r03. **进行梯度下降**: xk+1 = xk + αk * pk4. **更新残差**: rk+1 = rk - αk * Apk5. **检查收敛**: 如果 |rk+1| < ε，则停止迭代。

其中，αk 是步长参数，ε 是精度阈值。

**共轭梯度法的实现**

下面是 Python 中共轭梯度法的实现代码：

import numpy as npdef conjugate_gradient(A, b, x0, max_iter=1000, tol=1e-6):
 """
 共轭梯度法求解线性方程组 Ax = b。

 Parameters:
 A (numpy.array): n x n 的矩阵。
 b (numpy.array): n x1 的向量。
 x0 (numpy.array): 初始解，n x1 的向量。
 max_iter (int, optional): 最大迭代次数。 Defaults to1000.
 tol (float, optional): 精度阈值。 Defaults to1e-6.

 Returns:
 numpy.array: 解 x。
 """
 n = len(b)
 x = np.copy(x0) # 初始解 r = b - np.dot(A, x) # 残差 p = np.copy(r) # 方向向量 for _ in range(max_iter):
 alpha = np.dot(r, r) / np.dot(np.dot(p, A), p)
 x += alpha * p r -= alpha * np.dot(A, p)

 beta = np.dot(r, r) / np.dot(np.dot(p, A), p)
 if beta < tol:
 break p = r + beta * p return x# 示例使用A = np.array([[4,12, -16], [12,37, -43], [-16, -43,98]])
b = np.array([8,24, -32])
x0 = np.zeros(3)

x = conjugate_gradient(A, b, x0)
print("解 x:", x)