【python】爬楼梯—递归分析（超级详细）

**爬楼梯—递归分析**

在这个系列中，我们将深入探讨一个经典的算法问题——爬楼梯。这个问题涉及到一个有 n 个台阶的楼梯，一个人从底部开始，每次可以爬1 或2 步。我们需要计算出爬完整个楼梯所需的最少步数。

**递归分析**

首先，让我们使用递归来解决这个问题。递归是一种函数调用自身的方法，它通过重复地调用自身来解决一个问题。

def climb_stairs(n):
 # Base case: 如果 n =0 或 n =1，返回1，因为只有一步或两步可以爬完整个楼梯。
 if n <=1:
 return1 # 递归案例：如果 n >1，我们可以从 n-1 步和 n-2 步中选择一个作为当前的最少步数。
 else:
 return climb_stairs(n-1) + climb_stairs(n-2)

这个递归函数 `climb_stairs` 接受一个参数 `n`，代表楼梯的高度。它首先检查是否满足 base case，如果是，则返回1。如果不满足 base case，则进入递归案例。

在递归案例中，我们通过调用自身来计算从 n 步和 n-2 步中选择一个作为当前的最少步数。这意味着我们可以爬完整个楼梯的最少步数是从 n 步或 n-2 步中选择一个作为当前的最少步数。

**递归树**

为了更好地理解这个递归函数，我们可以画出一个递归树。递归树是一个图形，展示了递归函数在不同层次上如何调用自身。

markdown+---------------+
| climb_stairs(4) |
+---------------+
 |
 |
 v+---------------+---------------+
| climb_stairs(3) | climb_stairs(2) |
+---------------+---------------+
 | |
 | |
 v v+---------------+---------------+---------------+---------------+
| climb_stairs(2) | climb_stairs(1) | climb_stairs(0) | climb_stairs(1) |
+---------------+---------------+---------------+---------------+

从这个递归树中，我们可以看到 `climb_stairs` 函数在不同层次上如何调用自身。每个节点代表一个函数调用，边代表函数之间的关系。

**时间复杂度**

现在，让我们分析一下递归函数的时间复杂度。时间复杂度是指算法执行所需的时间与输入大小的关系。

def climb_stairs(n):
 # Base case: 如果 n =0 或 n =1，返回1，因为只有一步或两步可以爬完整个楼梯。
 if n <=1:
 return1 # 递归案例：如果 n >1，我们可以从 n-1 步和 n-2 步中选择一个作为当前的最少步数。
 else:
 return climb_stairs(n-1) + climb_stairs(n-2)

在递归函数中，我们有两个递归案例：`climb_stairs(n-1)` 和 `climb_stairs(n-2)`。每个递归案例都代表一个函数调用，执行时间为 O(1)。

由于我们有两个递归案例，每个案例都代表一个函数调用，因此总的时间复杂度为 O(2^n)。这是因为每次函数调用都会增加一个新的层级，而每个层级都需要执行相同数量的计算。

**空间复杂度**

最后，让我们分析一下递归函数的空间复杂度。空间复杂度是指算法所需的内存与输入大小的关系。

def climb_stairs(n):
 # Base case: 如果 n =0 或 n =1，返回1，因为只有一步或两步可以爬完整个楼梯。
 if n <=1:
 return1 # 递归案例：如果 n >1，我们可以从 n-1 步和 n-2 步中选择一个作为当前的最少步数。
 else:
 return climb_stairs(n-1) + climb_stairs(n-2)

在递归函数中，我们有两个递归案例：`climb_stairs(n-1)` 和 `climb_stairs(n-2)`。每个递归案例都代表一个函数调用，需要占用一定的内存。

由于我们有两个递归案例，每个案例都代表一个函数调用，因此总的空间复杂度为 O(n)。这是因为每次函数调用都会增加一个新的层级，而每个层级都需要占用相同数量的内存。

**总结**

在本文中，我们使用递归来解决爬楼梯问题。我们首先分析了递归函数的时间复杂度和空间复杂度，然后画出了递归树以更好地理解递归函数的行为。

通过这种方式，我们可以深入了解递归函数的工作原理，并应用到实际问题中去。