【动态规划】路径问题

**动态规划:路径问题**

动态规划是一种强大的算法工具，用于解决复杂的问题。它通过分解问题、建立状态转移方程以及使用记忆化技术来减少计算量，从而提高效率。在本文中，我们将讨论一个经典的路径问题，并展示如何使用动态规划来求解这个问题。

**问题描述**

假设我们有一个 $n times m$ 的网格，网格中的每个位置都可以视为一个状态。我们从左上角开始（状态0），目标是到达右下角（状态 $n times m -1$）。在这个过程中，我们可以向右移动或向下移动一步，但不能往回走。

**动态规划的思路**

为了解决这个问题，我们可以使用动态规划来建立一个状态转移方程。我们定义一个二维数组 `dp`，其中 `dp[i][j]` 表示从左上角到达网格中第 $i$ 行、第 $j$ 列的最短路径长度。

**状态转移方程**

对于每个状态 $(i, j)$，我们可以通过以下方式来到达：

1. 从左上角直接移动到 $(i, j)$：此时 `dp[i][j] =0`。
2. 从左边的某个位置 $(i-1, k)$ 移动到 $(i, j)$：此时 `dp[i][j] = dp[i-1][k] +1`，其中 $k$ 是满足 $k leq j$ 的最大整数。
3. 从上边的某个位置 $(k, j-1)$ 移动到 $(i, j)$：此时 `dp[i][j] = dp[k][j-1] +1`，其中 $k$ 是满足 $k leq i$ 的最大整数。

因此，我们可以建立以下状态转移方程：

# 状态转移方程def min_path(dp, i, j):
 if i ==0 and j ==0:
 return0 elif i ==0:
 return dp[0][j-1] +1 elif j ==0:
 return dp[i-1][0] +1 else:
 return min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) +1

# 记忆化技术def min_path_memo(memo, i, j):
 if memo[i][j] != -1:
 return memo[i][j]
 elif i ==0 and j ==0:
 return0 elif i ==0:
 return memo[0][j-1] +1 elif j ==0:
 return memo[i-1][0] +1 else:
 memo[i][j] = min(min_path_memo(memo, i-1, j), min_path_memo(memo, i, j-1)) +1 return memo[i][j]

# 动态规划求解路径问题def min_path_dp(n, m):
 dp = [[0]*m for _ in range(n)]
 for i in range(1, n):
 for j in range(m):
 dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) +1 return dp[n-1][m-1]

# 记忆化技术求解路径问题def min_path_memo(n, m):
 memo = [[-1]*m for _ in range(n)]
 def min_path_memo_helper(i, j):
 if memo[i][j] != -1:
 return memo[i][j]
 elif i ==0 and j ==0:
 return0 elif i ==0:
 return memo[0][j-1] +1 elif j ==0:
 return memo[i-1][0] +1 else:
 memo[i][j] = min(min_path_memo_helper(i-1, j), min_path_memo_helper(i, j-1)) +1 return memo[i][j]
 return min_path_memo_helper(n-1, m-1)

# 测试代码n, m =3,4print("动态规划求解路径问题:", min_path_dp(n, m))
print("记忆化技术求解路径问题:", min_path_memo(n, m))