Fourier变换极其应用(Brad G. Osgood)——第1章——Fourier级数

**Fourier变换及其应用**

**第一章：Fourier级数**

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在数学分析中，Fourier级数是描述周期函数的重要工具。它由法国数学家Joseph Fourier于1807年提出，并以他的名字命名。Fourier级数是一种无穷级数，它可以用来表示任何周期函数。

**1.1什么是Fourier级数**

假设我们有一个周期函数$f(x)$，其周期为$2pi$。我们希望找到一种方法来表示这个函数。Fourier级数就是这样一种方法：

$$f(x) = frac{a_0}{2} + sum_{n=1}^{infty} (a_n cos(nx) + b_n sin(nx))$$其中$a_n$和$b_n$是常数。

**1.2什么是Fourier系数**

在上面的公式中，$a_n$和$b_n$被称为Fourier系数。它们可以通过以下公式计算：

$$a_n = frac{1}{pi} int_{-pi}^{pi} f(x) cos(nx) dx$$$$b_n = frac{1}{pi} int_{-pi}^{pi} f(x) sin(nx) dx$$**1.3例子**

假设我们有一个函数$f(x) = x$，其周期为$2pi$。我们可以使用Fourier级数来表示这个函数：

$$f(x) = frac{a_0}{2} + sum_{n=1}^{infty} (a_n cos(nx) + b_n sin(nx))$$其中$a_n$和$b_n$可以通过以下公式计算：

$$a_n = frac{1}{pi} int_{-pi}^{pi} x cos(nx) dx =0$$$$b_n = frac{1}{pi} int_{-pi}^{pi} x sin(nx) dx = -frac{2}{n} (-1)^n$$因此，我们可以写出：

$$f(x) = sum_{n=1}^{infty} -frac{2}{n} (-1)^n sin(nx)$$**Python代码示例**

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltdef fourier_series(n, x):
 series =0 for i in range(1, n+1):
 series += -2 / i * ((-1)**i) * np.sin(i*x)
 return seriesx = np.linspace(-np.pi, np.pi,1000)
n =10y = fourier_series(n, x)

plt.plot(x, y)
plt.title('Fourier Series')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.grid(True)
plt.show()