【算法基础：数学知识】4.4 快速幂

**快速幂**

快速幂（Fast Exponentiation）是指计算一个数的某个幂的方法，利用了二进制表示法对数字进行加减运算的特点。快速幂算法可以用来求解如 $a^n$ 这样的问题，其中 $a$ 是一个数，$n$ 是一个整数。

**快速幂算法**

快速幂算法基于以下观察：对于任何正整数 $n$ 和 $k$，有$$a^{2n} = (a^2)^n,$$

$$a^{2n+1} = a cdot (a^2)^n.$$

利用这个观察，我们可以将快速幂算法分解为以下步骤：

1. 如果 $n=0$，则返回1，因为任何数的零次方都是1。
2. 如果 $n$ 为奇数，则计算 $a^{n-1}$ 的平方，并将其乘以 $a$ 得到结果。
3. 如果 $n$ 为偶数，则计算 $a^{n/2}$ 的平方得到结果。

**快速幂算法的实现**

下面是快速幂算法的 Python 实现：

def fast_exponentiation(a, n):
 """
 计算 a^n 的值。
 Args:
 a (int): 基数。
 n (int): 指数。
 Returns:
 int: a^n 的值。
 """
 # 如果 n=0，返回1，因为任何数的零次方都是1。
 if n ==0:
 return1 # 如果 n 为奇数，则计算 a^(n-1) 的平方，并将其乘以 a 得到结果。
 if n %2 !=0:
 return a * fast_exponentiation(a, n -1)
 # 如果 n 为偶数，则计算 a^(n/2) 的平方得到结果。
 else:
 half_pow = fast_exponentiation(a, n //2)
 return half_pow * half_pow

**快速幂算法的时间复杂度**

快速幂算法的时间复杂度为 O(log n)，因为我们每次都将指数减半，直到达到0。

**快速幂算法的空间复杂度**

快速幂算法的空间复杂度为 O(1)，因为我们只使用了常数数量的额外空间来存储临时结果。

**总结**

快速幂算法是一种高效的方法来计算一个数的某个幂。它基于二进制表示法对数字进行加减运算的特点，并且具有 O(log n) 的时间复杂度和 O(1) 的空间复杂度。快速幂算法可以用来求解如 $a^n$ 这样的问题，其中 $a$ 是一个数，$n$ 是一个整数。

**参考**

* 《算法导论》第4 章：快速幂* 《计算机程序设计艺术》第2 卷：算法和数据结构**注释**

* 本文使用 Python3.x 来实现快速幂算法。
* 快速幂算法的时间复杂度为 O(log n)，因为我们每次都将指数减半，直到达到0。
* 快速幂算法的空间复杂度为 O(1)，因为我们只使用了常数数量的额外空间来存储临时结果。