高数笔记02：导数、微分、中值定理

**高数笔记02: 导数、微分、中值定理**

**导数的定义**

导数是描述函数变化率的一种数学概念。它可以用来计算函数在某个点处的变化率。

假设函数 f(x) 在 x=a 处连续，且存在一个与 a 相邻的区间内的最大值或最小值，则称 f(x) 在 x=a 处的导数为：

f'(a) = lim_{h to0} frac{f(a+h)-f(a)}{h}

**微分**

微分是描述函数变化率的一种数学概念。它可以用来计算函数在某个点处的变化率。

假设函数 f(x) 在 x=a 处连续，则其导数 f'(a) 称为 f(x) 在 x=a 处的微分值。

**中值定理**

中值定理是描述函数变化率的一种数学概念。它可以用来计算函数在某个区间内的最大或最小值。

假设函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 内连续，并且存在一个与 a 相邻的区间内的最大值或最小值，则对于任意 x in (a,b)，有：

f'(x) = lim_{h to0} frac{f(x+h)-f(x)}{h}

**代码示例**

import numpy as np# 定义函数 f(x)
def f(x):
 return x**2 +2*x +1# 计算导数 f'(x) =2x +2def derivative_f(x):
 return2*x +2# 计算中值定理中的最大值或最小值def middle_value(f, a, b):
 x = (a + b) /2 return f(x)

# 测试代码x = np.linspace(-10,10,100)
y = [f(i) for i in x]
dy = [derivative_f(i) for i in x]

print("函数 f(x) =", y)
print("导数 f'(x) =", dy)
print("中值定理中的最大值或最小值 =", middle_value(f, -10,10))