机器学习之线性判别分析（Linear Discriminant Analysis）

**机器学习之线性判别分析（Linear Discriminant Analysis）**

线性判别分析（Linear Discriminant Analysis，LDA）是一种常见的监督式学习算法，用于特征选择、降维和分类问题。它通过在高维空间中寻找最优分离超平面来实现分类任务。

**什么是线性判别分析**

线性判别分析（LDA）是一种基于统计学的方法，它利用类别标签信息来学习特征之间的关系，并将其应用于分类问题。LDA 的主要目标是找到一个最优分离超平面，该超平面能够最大程度地分离不同类别的样本点。

**线性判别分析的数学基础**

假设我们有一个二元分类问题，共有两类样本（类别 A 和类别 B），每类样本都有 n 个特征。我们可以将这些样本表示为矩阵 X，其中每一行代表一个样本，每一列代表一个特征。

| | 特征1 | 特征2 | ... | 特征 n |
| --- | --- | --- | ... | --- |
| 类别 A 的第1 个样本 | x11 | x12 | ... | xn1 |
| 类别 A 的第2 个样本 | x21 | x22 | ... | xn2 |
| ... | ... | ... | ... | ... |
| 类别 B 的第1 个样本 | xm1 | xm2 | ... | xnm |

我们可以使用以下公式来计算类别 A 和类别 B 的均值向量：

μA = (x11 + x21 + ... + xn1) / nμB = (xm1 + xm2 + ... + xnm) / m其中，n 是类别 A 中样本的数量，m 是类别 B 中样本的数量。

线性判别分析的目标是找到一个最优分离超平面，该超平面能够最大程度地分离不同类别的样本点。这个超平面可以表示为：

w^T x + b =0其中，w 是权重向量，b 是偏置项。

**线性判别分析的计算步骤**

1. **计算类别 A 和类别 B 的均值向量**：使用公式 μA = (x11 + x21 + ... + xn1) / n 和 μB = (xm1 + xm2 + ... + xnm) / m 计算类别 A 和类别 B 的均值向量。
2. **计算类别 A 和类别 B 的协方差矩阵**：使用以下公式计算类别 A 和类别 B 的协方差矩阵：

ΣA = (x11 - μA)^2 + (x12 - μA)^2 + ... + (xn1 - μA)^2ΣB = (xm1 - μB)^2 + (xm2 - μB)^2 + ... + (xnm - μB)^23. **计算类别 A 和类别 B 的总协方差矩阵**：使用以下公式计算类别 A 和类别 B 的总协方差矩阵：

Σ = ΣA + ΣB4. **计算类别 A 和类别 B 之间的协方差**：使用以下公式计算类别 A 和类别 B 之间的协方差：

cov(A, B) = (x11 - μA)(xm1 - μB) + (x12 - μA)(xm2 - μB) + ... + (xn1 - μA)(xnm - μB)

5. **计算最优分离超平面**：使用以下公式计算最优分离超平面：

w = Σ^(-1) cov(A, B)
b = -μA^T w其中，Σ是类别 A 和类别 B 的总协方差矩阵。

**线性判别分析的Python实现**

import numpy as npdef lda(X, y):
 # 计算类别 A 和类别 B 的均值向量 mu_A = np.mean(X[y ==0], axis=0)
 mu_B = np.mean(X[y ==1], axis=0)

 # 计算类别 A 和类别 B 的协方差矩阵 sigma_A = np.cov(X[y ==0].T)
 sigma_B = np.cov(X[y ==1].T)

 # 计算类别 A 和类别 B 的总协方差矩阵 sigma = sigma_A + sigma_B # 计算类别 A 和类别 B 之间的协方差 cov_AB = np.dot((X[y ==0] - mu_A).T, (X[y ==1] - mu_B))

 # 计算最优分离超平面 w = np.linalg.inv(sigma).dot(cov_AB)
 b = -np.dot(mu_A.T, w)

 return w, b# 示例数据X = np.array([[1,2], [3,4], [5,6]])
y = np.array([0,0,1])

# 运行线性判别分析w, b = lda(X, y)
print("权重向量：", w)
print("偏置项：", b)