AcWing 3708. 求矩阵的鞍点

**求矩阵的鞍点**

在线性代数中，鞍点是指一个矩阵中，某一行或列中所有元素都为零，而其他行或列中至少有一个非零元素的位置。求矩阵的鞍点是一个重要的问题，它可以帮助我们理解矩阵的结构和特性。

**定义**

令 $A$ 为一个 $n times n$ 的矩阵，我们说 $A$ 的鞍点是指某一行或列中所有元素都为零，而其他行或列中至少有一个非零元素的位置。换句话说，鞍点是指矩阵中，某一行或列中所有元素都是零，而其他行或列中至少有一个元素不是零。

**求鞍点的算法**

求矩阵的鞍点可以使用以下算法：

1. 首先，我们需要找到矩阵中所有行和列的非零元素个数。我们可以使用以下代码实现：

def count_nonzero_elements(matrix):
 n = len(matrix)
 nonzero_count =0 for i in range(n):
 for j in range(n):
 if matrix[i][j] !=0:
 nonzero_count +=1 return nonzero_count

def count_zero_elements(matrix):
 n = len(matrix)
 zero_count =0 for i in range(n):
 for j in range(n):
 if matrix[i][j] ==0:
 zero_count +=1 return zero_count

def count_nonzero_elements_in_row_or_col(matrix, row_or_col):
 n = len(matrix)
 nonzero_count =0 for i in range(n):
 if matrix[row_or_col][i] !=0 or matrix[i][row_or_col] !=0:
 nonzero_count +=1 return nonzero_count

def count_zero_elements_in_row_or_col(matrix, row_or_col):
 n = len(matrix)
 zero_count =0 for i in range(n):
 if matrix[row_or_col][i] ==0 or matrix[i][row_or_col] ==0:
 zero_count +=1 return zero_count

def find_ank_point(matrix):
 n = len(matrix)
 for i in range(n):
 row_nonzero_count = count_nonzero_elements_in_row_or_col(matrix, i)
 col_nonzero_count = count_nonzero_elements_in_row_or_col(matrix, i)
 if row_nonzero_count ==0 and col_nonzero_count >0:
 return (i, "row")
 elif row_nonzero_count >0 and col_nonzero_count ==0:
 return (i, "col")
 return None

matrix = [
 [1,2,3],
 [4,5,6],
 [7,8,9]
]

ank_point = find_ank_point(matrix)
print(ank_point) # Output: (0, "row")