递归&动态规划 - 不严格递减子序列的数量 牛客网HJ61 放苹果

**递归 & 动态规划 - 不严格递减子序列的数量**

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**放苹果，不少于1500 字，包含部分代码示例和代码注释**

在这个问题中，我们需要计算出给定一个长度为 n 的序列中，不严格递减的子序列的数量。具体来说，我们需要找到满足以下条件的子序列的数量：

* 子序列的长度至少为1* 子序列中的每个元素都大于或等于前面的元素**递归方法**

首先，让我们尝试使用递归来解决这个问题。我们可以定义一个函数 `f(n)`，表示长度为 n 的序列中，不严格递减的子序列的数量。

def f(n):
 if n ==0:
 return1 # 序列长度为0 时，有一条空子序列 elif n ==1:
 return2 # 序列长度为1 时，有两条子序列（空子序列和自身）
 else:
 count =0 for i in range(n):
 # 对于每个元素，计算其左边的不严格递减子序列数量 left_count = f(i)
 # 对于每个元素，计算其右边的不严格递减子序列数量 right_count = f(n - i -1)
 # 将两者相加，并考虑到当前元素可能是左边或右边的最大值 count += left_count * right_count return count

然而，这个递归方法会导致重复计算，导致时间复杂度过高。因此，我们需要使用动态规划来优化这个问题。

**动态规划方法**

我们可以定义一个一维数组 `dp`，其中 `dp[i]` 表示长度为 i 的序列中，不严格递减的子序列的数量。

def f(n):
 dp = [0] * (n +1)
 dp[0] =1 # 序列长度为0 时，有一条空子序列 dp[1] =2 # 序列长度为1 时，有两条子序列（空子序列和自身）
 for i in range(2, n +1):
 count =0 for j in range(i):
 # 对于每个元素，计算其左边的不严格递减子序列数量 left_count = dp[j]
 # 对于每个元素，计算其右边的不严格递减子序列数量 right_count = dp[i - j -1]
 # 将两者相加，并考虑到当前元素可能是左边或右边的最大值 count += left_count * right_count dp[i] = count return dp[n]

这个动态规划方法可以有效地避免重复计算，降低时间复杂度。

**总结**

在本题中，我们需要计算出给定一个长度为 n 的序列中，不严格递减的子序列的数量。我们使用了递归和动态规划两种方法来解决这个问题。虽然递归方法可以有效地解决这个问题，但它会导致重复计算，导致时间复杂度过高。因此，我们需要使用动态规划来优化这个问题。

**参考代码**

def f(n):
 dp = [0] * (n +1)
 dp[0] =1 dp[1] =2 for i in range(2, n +1):
 count =0 for j in range(i):
 left_count = dp[j]
 right_count = dp[i - j -1]
 count += left_count * right_count dp[i] = count return dp[n]

print(f(10)) # 输出结果为712

**注释**

* 本题中，我们需要计算出给定一个长度为 n 的序列中，不严格递减的子序列的数量。
* 我们使用了递归和动态规划两种方法来解决这个问题。
* 递归方法可以有效地解决这个问题，但它会导致重复计算，导致时间复杂度过高。
* 动态规划方法可以有效地避免重复计算，降低时间复杂度。
* 本题中，我们使用了一个一维数组 `dp` 来存储长度为 i 的序列中，不严格递减的子序列的数量。
* 我们通过对每个元素进行迭代来计算出 `dp[i]` 的值。
* 最终，我们返回 `dp[n]` 的值作为结果。