树形dp记录路径 CF1779F Xorcerer’s Stones

**树形DP记录路径**

在竞赛中，树形DP是解决一些特定类型的问题的强大工具。特别是在CF1779F Xorcerer's Stones这个问题中，我们需要使用树形DP来记录路径并求出最终答案。

**问题描述**

在这个问题中，我们有一个森林，其中每个节点都代表一块石头。每块石头都有一个权值（XOR值），我们需要找到从根节点到叶子节点的所有可能路径，并将这些路径上的权值相加得到最终答案。

**树形DP**

树形DP是一种特殊的动态规划技术，适用于解决涉及树结构的问题。基本思想是，将问题分解成多个子问题，每个子问题都代表一个树节点。然后，我们使用递归或迭代方法来求解这些子问题，并将结果合并起来得到最终答案。

在这个问题中，我们可以将树形DP应用于森林中的每个节点。我们首先定义一个函数 `dp(u)`，表示从根节点到当前节点 `u` 的所有可能路径的权值之和。

**递归公式**

递归公式是树形DP的一个关键组成部分，它描述了如何将子问题的结果合并起来得到最终答案。在这个问题中，我们可以定义如下递归公式：

cppdp(u) = sum(dp(v)) for all children v of u

这里，`sum(dp(v))` 表示从根节点到每个孩子 `v` 的所有可能路径的权值之和。我们将这些结果合并起来得到从根节点到当前节点 `u` 的所有可能路径的权值之和。

**迭代公式**

在某些情况下，我们可以使用迭代公式来求解树形DP问题。在这个问题中，我们可以定义如下迭代公式：

cppdp(u) = sum(dp(v)) for all children v of u

这里，`sum(dp(v))` 表示从根节点到每个孩子 `v` 的所有可能路径的权值之和。我们将这些结果合并起来得到从根节点到当前节点 `u` 的所有可能路径的权值之和。

**代码实现**

下面是树形DP记录路径的C++代码实现：

cpp#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

const int N =1e5 +10;
int n, m;
long long ans =0;

struct Node {
 int x, y;
};

Node a[N];

void dfs(int u) {
 if (u == n -1) return;
 for (int i =0; i < m; i++) {
 if (a[u].x ^ a[i].y) continue;
 ans += dp(i);
 dfs(i);
 }
}

long long dp(int u) {
 if (u == n -1) return0;
 if (~dp[u]) return dp[u];
 dp[u] =0;
 for (int i =0; i < m; i++) {
 if (a[u].x ^ a[i].y) continue;
 dp[u] += dp(i);
 }
 return dp[u];
}

int main() {
 cin >> n >> m;
 for (int i =0; i < n -1; i++) {
 int x, y;
 cin >> x >> y;
 a[i].x = x;
 a[i].y = y;
 }
 dfs(0);
 cout << ans << endl;
 return0;
}

**注释**

* `dfs(int u)` 函数表示从根节点到当前节点 `u` 的所有可能路径的权值之和。
* `dp(int u)` 函数表示从根节点到当前节点 `u` 的所有可能路径的权值之和。
* `ans` 变量用于存储最终答案。
* `a[N]` 数组用于存储森林中的每个节点的信息。

**总结**

在这个问题中，我们使用树形DP记录路径并求出从根节点到叶子节点的所有可能路径的权值之和。我们首先定义一个函数 `dp(u)`，表示从根节点到当前节点 `u` 的所有可能路径的权值之和，然后使用递归或迭代方法来求解这些子问题，并将结果合并起来得到最终答案。

**参考**

* [树形DP]( />* [CF1779F Xorcerer's Stones](