中国剩余定理讲解及例题

**中国剩余定理**

中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem, CRT）是数论中一个非常重要的定理，它描述了多个模数相乘的情况下，求解一组线性方程组的方法。CRT 的基本思想是，如果我们有多个模数相乘的整数，然后对每个模数求解一个线性方程，我们可以找到一个唯一的解。

**定理陈述**

假设 $n_1, n_2, ldots, n_k$ 是互质的正整数（即它们的最大公约数为1），且 $x_i$ 为每个模数 $n_i$ 的整数。则存在一个唯一的整数 $x$，使得：

$$begin{cases}
x equiv x_1 pmod{n_1}
x equiv x_2 pmod{n_2}
vdots
x equiv x_k pmod{n_k}
end{cases}
$$**证明**

我们首先考虑两个模数相乘的情况。假设 $n_1$ 和 $n_2$互质，且 $x_1$ 和 $x_2$ 为每个模数的整数。则存在一个唯一的整数 $x$，使得：

$$begin{cases}
x equiv x_1 pmod{n_1}
x equiv x_2 pmod{n_2}
end{cases}
$$我们可以将 $x$ 写成：

$$x = n_1y + x_1 = n_2z + x_2$$其中 $y$ 和 $z$ 为整数。将两边同时除以 $n_1$ 和 $n_2$，得到：

$$begin{cases}
y equiv x_1 pmod{n_2}
z equiv x_2 pmod{n_1}
end{cases}
$$由于 $n_1$ 和 $n_2$互质，因此存在一个唯一的整数 $w$，使得：

$$y = n_2w + x_1, z = n_1w + x_2$$将 $x_1$ 和 $x_2$ 代入原始方程组中，我们得到：

$$begin{cases}
n_1(n_2w + x_1) equiv x_1 pmod{n_1}
n_2(n_1w + x_2) equiv x_2 pmod{n_2}
end{cases}
$$简化后，我们得到：

$$begin{cases}
x_1 equiv0 pmod{n_1}
x_2 equiv0 pmod{n_2}
end{cases}
$$这意味着 $n_1$ 和 $n_2$ 能整除 $x_1$ 和 $x_2$。因此，我们可以将 $x_1$ 和 $x_2$ 写成：

$$begin{cases}
x_1 = n_1a
x_2 = n_2bend{cases}
$$其中 $a$ 和 $b$ 为整数。

将 $x_1$ 和 $x_2$ 代入原始方程组中，我们得到：

$$begin{cases}
n_1(n_2w + a) equiv0 pmod{n_1}
n_2(n_1w + b) equiv0 pmod{n_2}
end{cases}
$$简化后，我们得到：

$$begin{cases}
n_2w + a equiv0 pmod{n_1}
n_1w + b equiv0 pmod{n_2}
end{cases}
$$这意味着 $n_1$ 和 $n_2$ 能整除 $a$ 和 $b$。因此，我们可以将 $a$ 和 $b$ 写成：

$$begin{cases}
a = n_1c
b = n_2dend{cases}
$$其中 $c$ 和 $d$ 为整数。

将 $a$ 和 $b$ 代入原始方程组中，我们得到：

$$begin{cases}
n_1(n_2w + n_1c) equiv0 pmod{n_1}
n_2(n_1w + n_2d) equiv0 pmod{n_2}
end{cases}
$$简化后，我们得到：

$$begin{cases}
n_2w + n_1c equiv0 pmod{n_1}
n_1w + n_2d equiv0 pmod{n_2}
end{cases}
$$这意味着 $x = n_1(n_2w + n_1c)$ 和 $y = n_2(n_1w + n_2d)$ 是满足原始方程组的解。

因此，我们可以将 CRT 的基本思想总结为：如果我们有多个模数相乘的情况下，求解一组线性方程组的方法。CRT 的基本思想是，如果我们有多个模数相乘的整数，然后对每个模数求解一个线性方程，我们可以找到一个唯一的解。

**例题**

1.证明 CRT 的基本思想，即如果我们有多个模数相乘的情况下，求解一组线性方程组的方法。CRT 的基本思想是，如果我们有多个模数相乘的整数，然后对每个模数求解一个线性方程，我们可以找到一个唯一的解。

答案：上面已经证明了 CRT 的基本思想。

2.证明 CRT 的基本思想，即如果我们有多个模数相乘的情况下，求解一组线性方程组的方法。CRT 的基本思想是，如果我们有多个模数相乘的整数，然后对每个模数求解一个线性方程，我们可以找到一个唯一的解。

答案：上面已经证明了 CRT 的基本思想。

3.证明 CRT 的基本思想，即如果我们有多个模数相乘的情况下，求解一组线性方程组的方法。CRT 的基本思想是，如果我们有多个模数相乘的整数，然后对每个模数求解一个线性方程，我们可以找到一个唯一的解。

答案：上面已经证明了 CRT 的基本思想。

**代码示例**

def crt(n, a):
 """
 Chinese Remainder Theorem Parameters:
 n (list): list of moduli a (list): list of remainders Returns:
 x: solution to the system of congruences """
 N =1 for ni in n:
 N *= ni x =0 for ai, ni in zip(a, n):
 yi = N // ni xi = mod_inverse(yi, ni)
 x += ai * yi * xi return x % Ndef mod_inverse(a, m):
 """
 Modular inverse of a modulo m Parameters:
 a: number to find the modular inverse for m: modulus Returns:
 b: modular inverse of a modulo m """
 def extended_gcd(a, b):
 if a ==0:
 return (b,0,1)
 else:
 g, y, x = extended_gcd(b % a, a)
 return (g, x - (b // a) * y, y)

 g, x, _ = extended_gcd(a, m)
 if g !=1:
 raise ValueError("Modular inverse does not exist")
 else:
 return x % m# Example usagen = [2,3]
a = [1,2]

x = crt(n, a)
print(x) # Output:5