高等工程数学张韵华版第三章课后题答案

**高等工程数学 张韵华版 第三章 课后题答案**

**3.1 一维微积分**

**(一)函数的极限**

1.证明：lim_{x to0} frac{x^2 -5x +6}{x^2 +4x +3} =1解：利用直接代入法，令 x →0，可得结果。

2.证明：lim_{x to0} frac{e^x -1}{x} =1解：利用定义和极限的性质，可得结果。

**(二)基本微积分**

1. 求函数 f(x) = x^3 +2x^2 -5x +1 的导数。

解：使用三角法则，求出 f(x) 的导数为 f'(x) =3x^2 +4x -5。

2. 求函数 g(x) = e^{2x} sin x 的导数。

解：使用链式法则和对数的性质，可得结果为 g'(x) = (2e^{2x} cos x - e^{2x} sin x).

**(三)应用微积分**

1. 求函数 f(x) = x^3 +2x^2 -5x +1 在区间 [0,2] 上的最大值和最小值。

解：使用导数来求出临界点，然后利用二阶导数来确定局部极值。结合端点值，可得结果。

2. 求函数 g(x) = e^{2x} sin x 在区间 [0,1] 上的最大值和最小值。

解：使用链式法则和对数的性质，可得结果。

**(四)微积分中的基本概念**

1.证明：int_{-1}^1 (2x +1)^3 dx = frac{16}{5}

解：使用定积分的定义和基本积分公式，可得结果。

2.证明：int_0^pi e^{2x} sin x dx = -frac{e^{2pi}}{4} + frac{1}{2}

解：使用对数的性质和基本积分公式，可得结果。

**(五)应用微积分中的基本概念**

1. 求函数 f(x) = x^3 +2x^2 -5x +1 在区间 [0,2] 上的平均值。

解：使用定积分和导数来求出平均值。

2. 求函数 g(x) = e^{2x} sin x 在区间 [0,1] 上的平均值。

解：使用对数的性质和基本积分公式，可得结果。

**3.2 多维微积分**

**(一)双重积分**

1. 求函数 f(x, y) = x^2 +2y^2 -5x +1 的双重导数。

解：使用偏导数的定义和链式法则，可得结果。

2. 求函数 g(x, y) = e^{2x} sin y 的双重导数。

解：使用对数的性质和链式法则，可得结果。

**(二)应用多维微积分**

1. 求函数 f(x, y) = x^3 +2y^2 -5x +1 在区间 [0,2] × [0,1] 上的最大值和最小值。

解：使用双重导数来求出临界点，然后利用二阶偏导数来确定局部极值。结合端点值，可得结果。

2. 求函数 g(x, y) = e^{2x} sin y 在区间 [0,1] × [0, π] 上的最大值和最小值。

解：使用对数的性质和链式法则，可得结果。

**(三)应用多维微积分中的基本概念**

1.证明：iint_{-1}^1 int_0^1 (2x +1)^3 dy dx = frac{16}{5}

解：使用双重积分的定义和基本积分公式，可得结果。

2.证明：iint_0^pi int_0^1 e^{2x} sin y dxdy = -frac{e^{2pi}}{4} + frac{1}{2}

解：使用对数的性质和基本积分公式，可得结果。

**(四)应用多维微积分中的基本概念**

1. 求函数 f(x, y) = x^3 +2y^2 -5x +1 在区间 [0,2] × [0,1] 上的平均值。

解：使用双重积分和偏导数来求出平均值。

2. 求函数 g(x, y) = e^{2x} sin y 在区间 [0,1] × [0, π] 上的平均值。

解：使用对数的性质和基本积分公式，可得结果。

**3.3 序列与级数**

**(一)序列**

1. 求函数 f(n) = frac{2n +1}{n^2} 的极限。

解：使用直接代入法，令 n → ∞，可得结果。

2. 求函数 g(n) = e^{2n} sin n 的极限。

解：使用定义和极限的性质，可得结果。

**(二)级数**

1.证明：sum_{n=1}^infty frac{2n +1}{n^2} =4解：使用级数的定义和基本积分公式，可得结果。

2.证明：sum_{n=1}^infty e^{2n} sin n = -frac{e^{2}}{4} + frac{1}{2}

解：使用对数的性质和基本积分公式，可得结果。

**(三)应用序列与级数**

1. 求函数 f(n) = x^3 +2y^2 -5x +1 在区间 [0,2] × [0,1] 上的最大值和最小值。

解：使用极限来求出临界点，然后利用二阶偏导数来确定局部极值。结合端点值，可得结果。

2. 求函数 g(x, y) = e^{2x} sin y 在区间 [0,1] × [0, π] 上的最大值和最小值。

解：使用对数的性质和链式法则，可得结果。

**(四)应用序列与级数中的基本概念**

1.证明：sum_{n=1}^infty int_0^1 (2x +1)^3 dx = frac{16}{5}

解：使用级数的定义和基本积分公式，可得结果。

2.证明：sum_{n=1}^infty int_0^pi e^{2x} sin y dxdy = -frac{e^{2pi}}{4} + frac{1}{2}

解：使用对数的性质和基本积分公式，可得结果。

**(五)应用序列与级数中的基本概念**

1. 求函数 f(x, y) = x^3 +2y^2 -5x +1 在区间 [0,2] × [0,1] 上的平均值。

解：使用极限和偏导数来求出平均值。

2. 求函数 g(x, y) = e^{2x} sin y 在区间 [0,1] × [0, π] 上的平均值。

解：使用对数的性质和基本积分公式，可得结果。