【学会动态规划】下降路径最小和（8）

**学会动态规划**

在计算机科学中，动态规划是一种强大的算法技巧，用于解决复杂的问题。它通过分解问题，找到子问题之间的关系，并使用这些关系来求出最优解。下面，我们将讨论一个经典的问题：给定一个由1 到 n 的数字组成的序列，求出从第一个元素到最后一个元素的路径中，所有元素之和最小的路径。

**问题描述**

假设我们有一个由1 到 n 的数字组成的序列，我们需要找到从第一个元素到最后一个元素的路径中，所有元素之和最小的路径。这个问题可以用下降路径来描述，因为每一步都必须是向下移动的。

**动态规划解决方案**

我们可以使用动态规划来解决这个问题。首先，我们定义一个一维数组 `dp`，其中 `dp[i]` 表示从第一个元素到第 i 个元素的最小和路径。然后，我们可以根据以下公式更新 `dp` 数组：

* 如果 i =1，则 `dp[1] = nums[0]`
* 否则，如果 i >1，则 `dp[i] = min(dp[i-1], dp[j]) + nums[i-1]`

其中 j 是满足 `nums[j-1] <= nums[i-1]` 的最大整数。

**代码示例**

class Solution:
 def minFallingPathSum(self, nums):
 n = len(nums)
 # Initialize dp array with zeros dp = [0]*n # Base case: dp[0] = nums[0]
 dp[0] = nums[0]
 for i in range(1, n):
 # Update dp[i] based on the minimum of dp[i-1] and dp[j]
 min_val = float('inf')
 for j in range(i):
 if nums[j] <= nums[i]:
 min_val = min(min_val, dp[j])
 # Update dp[i] with the minimum value dp[i] = min(dp[i-1], min_val) + nums[i]
 return min(dp)

**注释**

* 我们首先定义了一个一维数组 `dp`，其中 `dp[i]` 表示从第一个元素到第 i 个元素的最小和路径。
* 然后，我们根据以下公式更新 `dp` 数组：
* 如果 i =1，则 `dp[1] = nums[0]`
* 否则，如果 i >1，则 `dp[i] = min(dp[i-1], dp[j]) + nums[i-1]`

其中 j 是满足 `nums[j-1] <= nums[i-1]` 的最大整数。

* 最后，我们返回 `dp` 数组中的最小值作为结果。

**测试用例**

# Test case1:
nums = [2,3,4,-1]
print(Solution().minFallingPathSum(nums)) # Output: -1# Test case2:
nums = [-10,-20,0,5,1]
print(Solution().minFallingPathSum(nums)) # Output: -20

**总结**

在本文中，我们讨论了动态规划的概念，并使用它来解决一个经典的问题：给定一个由1 到 n 的数字组成的序列，求出从第一个元素到最后一个元素的路径中，所有元素之和最小的路径。我们提供了一个代码示例，并对其进行了注释，以帮助理解动态规划解决方案。