2016高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目B题 小区开放对道路通行的影响

**题目B**

小区开放对道路通行的影响**问题描述**

某城市的一个小区计划开放对外交通，为了评估这一政策对道路通行的影响，我们需要建立一个数学模型来模拟不同情况下的交通流量。

假设小区内有1000 个家庭，每个家庭平均有2.5 人。我们将这些人分为两类：工作人员和非工作人员。其中，工作人员占总人口的70%，非工作人员占总人口的30%。

每天早上7:00 至9:00 之间，小区内的工作人员会离开小区去上班，而晚上17:00 至19:00 之间，他们会返回小区。假设每个工作人员每天往返一次，总共有700 个工作人员。

非工作人员的出行模式与工作人员不同，他们主要是在周末和节假日进行长途旅行或短途游玩。我们将他们的出行模式分为两类：短途出行和长途出行。其中，短途出行占总人口的60%，长途出行占总人口的40%。

每天早上7:00 至9:00 之间，小区内的非工作人员会进行短途出行，而晚上17:00 至19:00 之间，他们会进行长途出行。假设每个非工作人员每天进行一次短途出行和一次长途出行。

**任务**

建立一个数学模型来模拟不同情况下的交通流量。假设小区开放对外交通后，道路通行的影响将取决于以下几个因素：

1. 小区内的人口数量和出行模式。
2. 每天早上7:00 至9:00 之间的小区内工作人员的流动量。
3. 每天晚上17:00 至19:00 之间的小区内非工作人员的流动量。

**数学模型**

我们将建立一个基于差分方程的数学模型来模拟交通流量。假设小区内的交通流量可以用以下公式表示：

T(t) = W(t) + N(t)

其中，T(t)是交通流量，W(t)是工作人员的流动量，N(t)是非工作人员的流动量。

我们将工作人员的流动量表示为：

W(t) =700 * (1 - e^(-0.5t))

其中，e 是自然对数，t 是时间（以小时为单位）。

我们将非工作人员的流动量表示为：

N(t) =300 * (1 + e^(0.2t))

其中，e 是自然对数，t 是时间（以小时为单位）。

**代码示例**

import numpy as np# 定义参数population =1000 # 人口数量work_ratio =0.7 # 工作人员比例non_work_ratio =0.3 # 非工作人员比例travel_time =2 # 旅行时间（小时）

# 定义流动量函数def work_flow(t):
 return700 * (1 - np.exp(-0.5*t))

def non_work_flow(t):
 return300 * (1 + np.exp(0.2*t))

# 计算交通流量t = np.linspace(0, travel_time,100) # 时间数组traffic_flow = work_flow(t) + non_work_flow(t)

print("交通流量:", traffic_flow)