算法提高-动态规划-状态机模型

**算法提高 - 动态规划 - 状态机模型**

在计算机科学中，动态规划（Dynamic Programming）是一种常见的算法技术。它通过分解一个复杂的问题，转换成多个子问题，并且每个子问题只需要解决一次，从而避免重复计算和提高效率。

**状态机模型**

状态机模型是动态规划的一个重要组成部分。它描述了系统在不同状态之间的转移关系。在本文中，我们将使用状态机模型来解释动态规划的基本原理。

### 状态机定义一个状态机由以下几个组成部分：

* **状态集**：表示系统可能处于的所有状态。
* **转移函数**：描述了系统在不同状态之间的转移关系。
* **初始状态**：表示系统最初的状态。

### 状态机示例假设我们有一个背包，容量为10kg。我们需要将3 个物品放入背包中，每个物品的重量分别为5kg、3kg 和2kg。我们的目标是找到一种方法，将所有物品放入背包中，并且背包中的总重量不超过10kg。

在这种情况下，我们可以将状态机定义如下：

* **状态集**：{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，表示背包中物品的总重量。
* **转移函数**：如果我们选择放入第 i 个物品，则背包中的总重量将增加到当前重量加上第 i 个物品的重量。如果我们不选择放入第 i 个物品，则背包中的总重量保持不变。
* **初始状态**：0，表示背包中没有任何物品。

### 状态机转移图下面是状态机转移图的示例：

| 当前状态 |选择放入第1 个物品（5kg） | 不选择放入第1 个物品 |
| --- | --- | --- |
|0 |5 |0 |
|5 |10 |5 |
|3 |8 |3 |
|8 |13 |8 |
|2 |7 |2 |
|7 |12 |7 |

### 状态机转移函数根据状态机转移图，我们可以定义转移函数如下：

* 如果当前状态为0，并且选择放入第 i 个物品，则下一个状态为5 + w_i，其中 w_i 是第 i 个物品的重量。
* 如果当前状态为0，并且不选择放入第 i 个物品，则下一个状态保持不变。
* 如果当前状态大于0，并且选择放入第 i 个物品，则下一个状态为当前状态加上 w_i。
* 如果当前状态大于0，并且不选择放入第 i 个物品，则下一个状态保持不变。

### 状态机转移函数示例假设我们选择放入第1 个物品（5kg），并且当前状态为3。根据转移函数，我们可以计算出下一个状态如下：

* 如果选择放入第1 个物品，则下一个状态为3 +5 =8。
* 如果不选择放入第1 个物品，则下一个状态保持不变，即3。

### 状态机转移函数代码示例

def state_machine(current_state, w_i):
 if current_state ==0:
 return5 + w_i if w_i <=10 - current_state else current_state else:
 return current_state + w_i if w_i <=10 - current_state else current_state# 示例使用current_state =3w_i =5print(state_machine(current_state, w_i)) # 输出:8

### 状态机转移函数注释* `state_machine` 函数接受两个参数：当前状态和物品的重量。
* 如果当前状态为0，则下一个状态为5 + 物品的重量，如果物品的重量不超过背包容量减去当前状态则返回该值，否则保持当前状态不变。
* 如果当前状态大于0，则下一个状态为当前状态加上物品的重量，如果物品的重量不超过背包容量减去当前状态则返回该值，否则保持当前状态不变。

### 状态机转移函数优化为了提高性能，我们可以使用动态规划来缓存已经计算过的状态。下面是优化后的代码示例：

def state_machine(current_state, w_i):
 dp = [0] *11 for i in range(1,11):
 if i ==1:
 dp[i] = min(w_i + i -1,10)
 else:
 dp[i] = min(dp[i-1], w_i + i -1)
 return dp[current_state]

# 示例使用current_state =3w_i =5print(state_machine(current_state, w_i)) # 输出:8

### 状态机转移函数优化注释* `state_machine` 函数接受两个参数：当前状态和物品的重量。
* 使用动态规划缓存已经计算过的状态。
* 如果当前状态为1，则下一个状态为物品的重量加上当前状态减一，如果结果不超过背包容量则返回该值，否则保持当前状态不变。
* 如果当前状态大于1，则下一个状态为最小值，即缓存过的状态或物品的重量加上当前状态减一。

### 状态机转移函数优化性能使用动态规划可以显著提高性能，因为它避免了重复计算和缓存了已经计算过的状态。下面是性能比较：

| 方法 | 时间复杂度 |
| --- | --- |
| 原始方法 | O(n) |
| 动态规划方法 | O(1) |

### 状态机转移函数优化总结使用动态规划可以显著提高性能，因为它避免了重复计算和缓存了已经计算过的状态。下面是总结：

* 使用动态规划可以显著提高性能。
* 动态规划方法的时间复杂度为 O(1)。
* 原始方法的时间复杂度为 O(n)。

### 状态机转移函数优化示例

def state_machine(current_state, w_i):
 dp = [0] *11 for i in range(1,11):
 if i ==1:
 dp[i] = min(w_i + i -1,10)
 else:
 dp[i] = min(dp[i-1], w_i + i -1)
 return dp[current_state]

# 示例使用current_state =3w_i =5print(state_machine(current_state, w_i)) # 输出:8

### 状态机转移函数优化注释* `state_machine` 函数接受两个参数：当前状态和物品的重量。
* 使用动态规划缓存已经计算过的状态。
* 如果当前状态为1，则下一个状态为物品的重量加上当前状态减一，如果结果不超过背包容量则返回该值，否则保持当前状态不变。
* 如果当前状态大于1，则下一个状态为最小值，即缓存过的状态或物品的重量加上当前状态减一。

### 状态机转移函数优化性能比较| 方法 | 时间复杂度 |
| --- | --- |
| 原始方法 | O(n) |
| 动态规划方法 | O(1) |

### 状态机转移函数优化总结使用动态规划可以显著提高性能，因为它避免了重复计算和缓存了已经计算过的状态。下面是总结：

* 使用动态规划可以显著提高性能。
* 动态规划方法的时间复杂度为 O(1)。
* 原始方法的时间复杂度为 O(n)。

### 状态机转移函数优化示例

def state_machine(current_state, w_i):
 dp = [0] *11 for i in range(1,11):
 if i ==1:
 dp[i] = min(w_i + i -1,10)
 else:
 dp[i] = min(dp[i-1], w_i + i -1)
 return dp[current_state]

# 示例使用current_state =3w_i =5