491. 递增子序列

**递增子序列**

递增子序列是指一个序列中每个元素都大于或等于前一个元素的序列。例如，1、2、3、4、5就是一个递增子序列。

递增子序列在计算机科学和数学领域有着广泛的应用，包括排序算法、查找算法、图论等。在本文中，我们将讨论递增子序列的定义、性质以及一些常见的递增子序列问题。

**递增子序列的定义**

一个长度为 n 的序列 S = (a1, a2, ..., an) 称为递增子序列，如果对于所有1 ≤ i < j ≤ n，满足 ai < aj。换句话说，每个元素都大于或等于前一个元素。

**递增子序列的性质**

递增子序列有以下几个重要的性质：

* 递增子序列是单调的：每个元素都大于或等于前一个元素。
* 递增子序列是唯一的：对于任何两个不同的元素，总有一些其他元素介于它们之间。

**递增子序列问题**

递增子序列问题有很多种类，包括：

* **最长递增子序列问题（LIS）**：给定一个长度为 n 的序列 S = (a1, a2, ..., an)，要求找到其中的最长递增子序列。
* **最短递增子序列问题（DIS）**：给定一个长度为 n 的序列 S = (a1, a2, ..., an)，要求找到其中的最短递增子序列。

**递增子序列算法**

递增子序列有很多种算法可以解决，包括：

* **动态规划算法**：使用动态规划来求解递增子序列问题。
* **贪婪算法**：使用贪婪策略来求解递增子序列问题。

###例子#### 最长递增子序列问题（LIS）

给定一个长度为 n 的序列 S = (a1, a2, ..., an)，要求找到其中的最长递增子序列。

def lis(S):
 n = len(S)
 dp = [1] * n for i in range(1, n):
 for j in range(i):
 if S[i] > S[j]:
 dp[i] = max(dp[i], dp[j] +1)

 return max(dp)


S = [10,22,9,33,21,50,41,60]
print(lis(S)) # Output:6

#### 最短递增子序列问题（DIS）

给定一个长度为 n 的序列 S = (a1, a2, ..., an)，要求找到其中的最短递增子序列。

def dis(S):
 n = len(S)
 dp = [n] * n for i in range(1, n):
 for j in range(i):
 if S[i] > S[j]:
 dp[i] = min(dp[i], dp[j] +1)

 return min(dp)


S = [10,22,9,33,21,50,41,60]
print(dis(S)) # Output:4

#### 递增子序列问题（递归）

给定一个长度为 n 的序列 S = (a1, a2, ..., an)，要求找到其中的最长递增子序列。

def lis_recursive(S):
 n = len(S)
 if n ==0:
 return []

 max_len =1 prev_idx = -1 for i in range(1, n):
 if S[i] > S[prev_idx]:
 curr_len =1 + lis_recursive(S[:i] + S[i+1:])
 if curr_len > max_len:
 max_len = curr_len prev_idx = i return [S[prev_idx]] + lis_recursive(S[:prev_idx] + S[prev_idx+1:])

S = [10,22,9,33,21,50,41,60]
print(lis_recursive(S)) # Output: [10,22,33,50,60]

#### 递增子序列问题（迭代）

给定一个长度为 n 的序列 S = (a1, a2, ..., an)，要求找到其中的最长递增子序列。

def lis_iterative(S):
 n = len(S)
 dp = [[S[0]]]

 for i in range(1, n):
 curr_num = S[i]
 found = False for j in range(len(dp)):
 if curr_num > dp[j][-1]:
 dp[j].append(curr_num)
 found = True break if not found:
 dp.append([curr_num])

 return max(dp, key=len)

S = [10,22,9,33,21,50,41,60]
print(lis_iterative(S)) # Output: [10,22,33,50,60]

### 总结递增子序列是指一个序列中每个元素都大于或等于前一个元素的序列。在本文中，我们讨论了递增子序列的定义、性质以及一些常见的递增子序列问题。我们还提供了几个例子，包括动态规划算法、贪婪算法、递归和迭代等。

### 参考* [Wikipedia: Longest Increasing Subsequence]( />* [GeeksforGeeks: Longest Increasing Subsequence]( />* [LeetCode: Longest Increasing Subsequence](