4 自动微分 Automatic Differentitaion

**自动微分Automatic Differentiation**

自动微分（Automatic Differentiation）是一种用于计算函数导数的技术，它可以高效地计算多变量函数的导数。与传统的手动微分法相比，自动微分法提供了更快、更准确的结果。

**什么是自动微分？**

自动微分是一种基于运算符重写（Operator Overwriting）的技术，它可以将原始函数转换为其对应的导数函数。这种方法通过重新排列原始函数中的运算符来实现，这样就可以直接计算出导数。

**自动微分的类型**

有两种主要的自动微分类型：

1. **前向模式（Forward Mode）**：此方法将原始函数转换为其对应的导数函数，结果是导数函数的值。
2. **反向模式（Reverse Mode）**：此方法将原始函数转换为其对应的导数函数，结果是导数函数的分量。

**前向模式**

前向模式是一种最常用的自动微分方法。它通过重新排列原始函数中的运算符来实现。具体来说，它会将每个运算符（如加法、减法、乘法等）转换为其对应的导数运算符。

例如，假设我们有一个简单的函数：

f(x) =2x +3使用前向模式，我们可以将其转换为：

df/dx = d(2x +3)/dx=2在这个例子中，我们可以看到原始函数 f(x) =2x +3 的导数是2。

**反向模式**

反向模式是一种较少使用的自动微分方法。它通过重新排列原始函数中的运算符来实现，结果是导数函数的分量。

例如，假设我们有一个简单的函数：

f(x) = x^2 +3x使用反向模式，我们可以将其转换为：

df/dx = d(x^2 +3x)/dx= (2x +3)

在这个例子中，我们可以看到原始函数 f(x) = x^2 +3x 的导数是 (2x +3)。

**Python 实现**

下面是一个 Python 实现，使用 NumPy 库来计算自动微分：

import numpy as npdef forward_mode(func, x):
 # 前向模式 df_dx = np.zeros_like(x)
 for i in range(len(x)):
 if func[i] == 'x':
 df_dx[i] =1 elif func[i] == '+':
 df_dx[i] =0 elif func[i] == '-':
 df_dx[i] =0 elif func[i] == '*':
 df_dx[i] = x[i]
 return df_dxdef reverse_mode(func, x):
 # 反向模式 df_dx = np.zeros_like(x)
 for i in range(len(x)):
 if func[i] == 'x':
 df_dx[i] =1 elif func[i] == '+':
 df_dx[i] =1 elif func[i] == '-':
 df_dx[i] = -1 elif func[i] == '*':
 df_dx[i] = x[i]
 return df_dx# 测试函数def f(x):
 return2*x +3x = np.array([1,2,3])

# 前向模式df_dx_fw = forward_mode('2*x+3', x)
print(df_dx_fw)

# 反向模式df_dx_rw = reverse_mode('x**2+3*x', x)
print(df_dx_rw)