人工智能数学基础--概率与统计15：多维随机变量/向量

**人工智能数学基础--概率与统计15：多维随机变量/向量**

在前面的章节中，我们已经学习了单个随机变量的概率分布和统计特性。然而，在实际应用中，往往需要处理多个相关的随机变量，这些变量之间可能存在复杂的关系。在这种情况下，我们需要引入多维随机变量或向量的概念。

**定义**

假设我们有 $n$ 个独立的随机变量 $X_1, X_2, ldots, X_n$，每个变量都具有其自己的概率分布。这些变量之间可能存在复杂的关系，我们可以将它们组合成一个多维随机向量 $mathbf{X} = (X_1, X_2, ldots, X_n)$。

**概率密度函数**

对于多维随机变量 $mathbf{X}$，其概率密度函数（PDF）可以定义为：

$$f_{mathbf{X}}(mathbf{x}) = f_{X_1}(x_1) cdot f_{X_2}(x_2) cdots f_{X_n}(x_n)$$其中，$f_{X_i}(x_i)$ 是第 $i$ 个随机变量的概率密度函数。

**统计特性**

对于多维随机变量 $mathbf{X}$，其统计特性可以通过以下方式计算：

* **期望值（均值）**：$$E[mathbf{X}] = E[X_1, X_2, ldots, X_n] = (E[X_1], E[X_2], ldots, E[X_n])$$* **方差**：$$text{Var}(mathbf{X}) = begin{bmatrix}text{Var}(X_1) & text{Cov}(X_1,X_2) & cdots & text{Cov}(X_1,X_n) text{Cov}(X_2,X_1) & text{Var}(X_2) & cdots & text{Cov}(X_2,X_n) vdots & vdots & ddots & vdots text{Cov}(X_n,X_1) & text{Cov}(X_n,X_2) & cdots & text{Var}(X_n)end{bmatrix}$$其中，$text{Cov}(X_i, X_j)$ 是第 $i$ 个随机变量和第 $j$ 个随机变量的协方差。

**例子**

假设我们有两个独立的随机变量 $X_1$ 和 $X_2$，每个变量都服从标准正态分布。我们可以将它们组合成一个多维随机向量 $mathbf{X} = (X_1, X_2)$。

对于这个例子，我们有：

* **概率密度函数**：$$f_{mathbf{X}}(mathbf{x}) = f_{X_1}(x_1) cdot f_{X_2}(x_2) = frac{1}{sqrt{2pi}}e^{-frac{x_1^2}{2}} cdot frac{1}{sqrt{2pi}}e^{-frac{x_2^2}{2}}$$* **期望值（均值）**：$$E[mathbf{X}] = E[X_1, X_2] = (0,0)$$* **方差**：$$text{Var}(mathbf{X}) = begin{bmatrix}text{Var}(X_1) & text{Cov}(X_1,X_2) text{Cov}(X_2,X_1) & text{Var}(X_2)end{bmatrix} = begin{bmatrix}1 &0 0 &1end{bmatrix}$$**Python代码示例**

import numpy as np# 定义两个独立的随机变量服从标准正态分布np.random.seed(0)
X1 = np.random.normal(size=1000)
X2 = np.random.normal(size=1000)

# 组合成一个多维随机向量X = np.column_stack((X1, X2))

# 计算概率密度函数def pdf(x):
 return1 / (np.sqrt(2 * np.pi) **2) * np.exp(-x[0]**2/2 - x[1]**2/2)

# 计算期望值（均值）
mean_X = np.mean(X, axis=0)

# 计算方差cov_X = np.cov(X[:,0], X[:,1])

print("概率密度函数：", pdf([0,0]))
print("期望值（均值）：", mean_X)
print("方差：
", cov_X)