fenchel-rockafellar duality

**Fenchel-Rockafellar 对偶性**

Fenchel-Rockafellar 对偶性是一种广泛应用于优化理论中的概念，它为我们提供了一种新的视角来理解原问题的对偶性。这种对偶性是由拉格朗日对偶性和康托尔对偶性的结合而得出的。

**拉格朗日对偶性**

首先，我们回顾一下拉格朗日对偶性。假设我们有一个线性规划问题：

开始{对齐*}
min_{x} & c^T x
text{s.t.} & Ax = b结束{对齐*}

其中 $c$ 是目标函数的系数向量，$A$ 是约束矩阵，$b$ 是右侧向量。我们可以将其写成拉格朗日形式：

开始{对齐*}
L(x, lambda) &= c^T x + lambda^T (Ax - b)
结束{对齐*}

其中 $lambda$ 是拉格朗日乘子。

**康托尔对偶性**

接下来，我们回顾一下康托尔对偶性。假设我们有一个线性规划问题：

开始{对齐*}
max_{y} & b^T y
text{s.t.} & A^T y leq c结束{对齐*}

其中 $b$ 是目标函数的系数向量，$A$ 是约束矩阵，$c$ 是右侧向量。我们可以将其写成康托尔形式：

开始{对齐*}
K(y, mu) &= b^T y + mu^T (A^T y - c)
结束{对齐*}

其中 $mu$ 是康托尔乘子。

**Fenchel-Rockafellar 对偶性**

现在，我们可以将拉格朗日对偶性和康托尔对偶性结合起来得到 Fenchel-Rockafellar 对偶性。假设我们有一个线性规划问题：

开始{对齐*}
min_{x} & c^T x
text{s.t.} & Ax = b结束{对齐*}

我们可以将其写成 Fenchel-Rockafellar 形式：

开始{对齐*}
F(x, lambda) &= c^T x + lambda^T (Ax - b)
结束{对齐*}

其中 $lambda$ 是拉格朗日乘子。

同时，我们可以将其写成康托尔形式：

开始{对齐*}
K(y, mu) &= b^T y + mu^T (A^T y - c)
结束{对齐*}

其中 $mu$ 是康托尔乘子。

**对偶性**

现在，我们可以看到 Fenchel-Rockafellar 对偶性是拉格朗日对偶性和康托尔对偶性的结合。我们可以将其写成：

开始{对齐*}
F(x, lambda) &= c^T x + lambda^T (Ax - b)
K(y, mu) &= b^T y + mu^T (A^T y - c)
结束{对齐*}

其中 $x$ 和 $lambda$ 是原问题的变量和拉格朗日乘子，$y$ 和 $mu$ 是对偶问题的变量和康托尔乘子。

**代码示例**

下面是一个 Python代码示例，演示了 Fenchel-Rockafellar 对偶性：

import numpy as np# 原问题def primal_problem(x):
 return x[0] +2 * x[1]

# 对偶问题def dual_problem(y):
 return -y[0] - y[1]

# Fenchel-Rockafellar 对偶性def fenchel_rockafellar(x, lambda_):
 return primal_problem(x) + lambda_[0] * (x[0] -2) + lambda_[1] * (x[1] -3)

# 康托尔对偶性def kantorovich(y, mu):
 return dual_problem(y) + mu[0] * (-y[0] - y[1]) + mu[1] * (y[0] -2) + mu[2] * (y[1] -3)

# 对偶性def duality(x, lambda_, y, mu):
 return fenchel_rockafellar(x, lambda_) == kantorovich(y, mu)