基于MATLAB的多元线性回归与梯度下降算法探究：从理论基础到实现

**基于MATLAB的多元线性回归与梯度下降算法探究**

**一、理论基础**

多元线性回归（Multiple Linear Regression，MLR）是统计学中的一种回归分析方法，它用于预测一个连续变量的值。假设我们有一个包含n个样本点的数据集，每个样本点都有p个特征变量和一个目标变量，我们希望根据这些特征变量来预测目标变量。

多元线性回归模型可以表示为：

y = β0 + β1x1 + β2x2 + … + βpxp + ε其中，y是目标变量，x1、x2、…、xp是特征变量，β0、β1、β2、…、βp是模型参数，ε是随机误差。

**二、梯度下降算法**

梯度下降（Gradient Descent）是一种用于优化多元线性回归模型的算法，它通过迭代地更新模型参数来最小化目标函数。

假设我们的目标函数是：

J(β) = (1/2n) * ∑[i=1到n](y_i - (β0 + β1x1_i + β2x2_i + … + βpxp_i))^2其中，y_i是第i个样本点的目标变量，x1_i、x2_i、…、xp_i是第i个样本点的特征变量。

梯度下降算法的更新规则为：

βk+1 = βk - α * ?J(βk)

其中，α是学习率，?J(βk)是目标函数对模型参数的偏导数。

**三、MATLAB实现**

我们可以使用MATLAB来实现多元线性回归与梯度下降算法。以下是部分代码示例：

matlab% 加载数据集load('data.mat');

% 定义模型参数初始值beta = zeros(1, p);

% 定义学习率alpha =0.01;

% 定义迭代次数max_iter =1000;

% 运行梯度下降算法for i =1:max_iter % 计算目标函数的偏导数 grad = zeros(1, p);
 for j =1:n grad = grad + (y(j) - (beta(1) + beta(2)*x1(j) + ... + beta(p)*xp(j))) * [1; x1(j); x2(j); ... ; xp(j)];
 end % 更新模型参数 beta = beta - alpha * grad;
 % 检查收敛条件 if norm(grad) < 1e-6 break;
 endend% 输出最终结果disp(beta);