西瓜书读书笔记整理（四）—— 第三章 线性模型

**西瓜书读书笔记整理（四）——第三章 线性模型**

**第三章 线性模型**

线性模型是机器学习中最基本也是最重要的模型之一。它可以用于预测连续值或分类问题。在本章，我们将介绍线性模型的基本概念、数学推导和实现。

###3.1 线性回归线性回归是一种常见的线性模型，用于预测连续值。假设我们有一个数据集 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), ldots, (x_n, y_n)$，其中 $x_i$ 是输入特征，$y_i$ 是输出目标变量。

线性回归模型的基本形式是：

$$y = w^T x + b$$其中 $w$ 是权重向量，$b$ 是偏置项。

####3.1.1 线性回归的数学推导假设我们有一个数据集 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), ldots, (x_n, y_n)$。我们希望找到一个线性模型 $y = w^T x + b$，使得预测值与实际值最接近。

我们可以使用均方误差（MSE）来衡量预测值与实际值之间的差异：

$$text{MSE} = frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} (y_i - (w^T x_i + b))^2$$我们可以使用梯度下降法来优化权重 $w$ 和偏置项 $b$，使得 MSE 最小。

####3.1.2 线性回归的实现在 Python 中，我们可以使用 scikit-learn 库来实现线性回归模型：

from sklearn.linear_model import LinearRegressionimport numpy as np# 假设数据集X = np.array([[1,2], [3,4], [5,6]])
y = np.array([2,4,5])

# 实例化线性回归模型model = LinearRegression()

# 训练模型model.fit(X, y)

# 预测值print(model.predict(np.array([[7,8]])))

###3.2 线性分类线性分类是一种常见的线性模型，用于分类问题。假设我们有一个数据集 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), ldots, (x_n, y_n)$，其中 $x_i$ 是输入特征，$y_i$ 是输出目标变量。

线性分类模型的基本形式是：

$$y = w^T x + b$$####3.2.1 线性分类的数学推导假设我们有一个数据集 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), ldots, (x_n, y_n)$。我们希望找到一个线性模型 $y = w^T x + b$，使得预测值与实际值最接近。

我们可以使用逻辑回归来实现线性分类：

$$p(y=1|x) = frac{1}{1 + e^{-(w^T x + b)}}$$####3.2.2 线性分类的实现在 Python 中，我们可以使用 scikit-learn 库来实现逻辑回归模型：

from sklearn.linear_model import LogisticRegressionimport numpy as np# 假设数据集X = np.array([[1,2], [3,4], [5,6]])
y = np.array([0,1,1])

# 实例化逻辑回归模型model = LogisticRegression()

# 训练模型model.fit(X, y)

# 预测值print(model.predict(np.array([[7,8]])))

### 总结本章我们介绍了线性模型的基本概念、数学推导和实现。线性模型可以用于预测连续值或分类问题。在 Python 中，我们可以使用 scikit-learn 库来实现线性回归和逻辑回归模型。

**参考文献**

* Bishop, C. M. (2006). Pattern recognition and machine learning. Springer.
* Goodfellow, I., Bengio, Y., & Courville, A. (2016). Deep learning. MIT Press.

**注释**

* 本文使用的 Python代码示例仅供参考，实际实现可能需要根据具体问题进行调整。
* 本文中提到的数学推导和实现仅为简要概述，详细内容请参见参考文献。