线性回归梯度下降

**线性回归梯度下降**

线性回归是一种常见的机器学习算法，用于预测连续输出变量。梯度下降是训练线性回归模型的一种重要方法。在本文中，我们将详细介绍线性回归梯度下降的原理、数学推导和实现代码。

**线性回归**

线性回归是一种简单的回归算法，假设输出变量与输入变量之间存在线性的关系。给定数据集 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), ..., (x_n, y_n)$，我们希望找到一个直线 $y = w^T x + b$，使得预测值尽可能接近实际输出。

**数学推导**

假设我们的数据集为 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), ..., (x_n, y_n)$，其中 $x_i in R^d$ 和 $y_i in R$。我们希望找到一个权重向量 $w in R^d$ 和偏置项 $b in R$，使得预测值尽可能接近实际输出。

线性回归的目标函数是均方误差（MSE），定义为：

$$L(w, b) = frac{1}{n} sum_{i=1}^n (y_i - w^T x_i - b)^2$$我们的任务是找到 $w$ 和 $b$ 的最优值，使得目标函数最小。

**梯度下降**

梯度下降是一种迭代算法，用于找到目标函数的最优值。给定一个初始值 $w_0$ 和 $b_0$，我们在每一步中更新权重向量和偏置项，以使目标函数尽可能小。

假设当前权重向量为 $w_t$ 和偏置项为 $b_t$，我们可以计算出目标函数的梯度：

$$
abla L(w, b) = begin{bmatrix} frac{partial L}{partial w_1} vdots frac{partial L}{partial w_d} frac{partial L}{partial b} end{bmatrix}$$使用梯度下降更新规则，我们可以得到：

$$w_{t+1} = w_t - alpha
abla L(w, b)$$$$b_{t+1} = b_t - alpha frac{partial L}{partial b}$$其中 $alpha$ 是学习率。

**实现代码**

以下是 Python代码，使用 NumPy 和 Scikit-learn 库来实现线性回归梯度下降：

import numpy as npfrom sklearn.linear_model import LinearRegressionfrom sklearn.datasets import load_diabetes# 加载糖尿病数据集diabetes = load_diabetes()
X = diabetes.data[:, :1] # 使用第一个特征y = diabetes.target# 初始化权重向量和偏置项w = np.zeros((1,))
b =0.0# 设置学习率alpha =0.01# 迭代次数n_iter =1000for i in range(n_iter):
 # 计算目标函数的梯度 grad_w = (X @ w + b - y).dot(X) / len(y)
 grad_b = np.mean((X @ w + b - y))

 # 更新权重向量和偏置项 w -= alpha * grad_w b -= alpha * grad_b # 打印当前目标函数值 print(f"Iteration {i+1}, Loss: {np.mean((y - (X @ w + b))**2)}")

# 使用 Scikit-learn 库的 LinearRegression 类来实现线性回归lr = LinearRegression()
lr.fit(X, y)

print(f"Scikit-learn 的 LinearRegression 模型的损失值: {np.mean((y - lr.predict(X))**2)}")