多重背包--- 二进制优化

**多重背包---二进制优化**

在算法竞赛中，多重背包是非常常见的一道题目。它的基本要求是：给定一个物品的数量和价格，以及每个物品可以背包的最大数量，求出能够背包的最多价值。

**传统解决方法**

传统的解决方法是使用动态规划来解决这个问题。我们首先定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示背包容量为i时，可以背包的最大价值。然后，我们从物品1开始，依次遍历每个物品，并更新dp数组。

def knapsack(weights, values, capacities):
 n = len(values)
 dp = [[0 for _ in range(capacities +1)] for _ in range(n +1)]

 for i in range(1, n +1):
 for j in range(1, capacities +1):
 if weights[i -1] <= j:
 dp[i][j] = max(dp[i -1][j], dp[i -1][j - weights[i -1]] + values[i -1])
 else:
 dp[i][j] = dp[i -1][j]

 return dp[n][capacities]

**二进制优化**

但是，这个传统的解决方法有一个问题：它需要O(n * capacities)的空间复杂度，而n和capacities都可能非常大。因此，我们需要一种更高效的方法来解决这个问题。

二进制优化是一种常见的技巧，可以用来降低动态规划的空间复杂度。在这种情况下，我们可以使用一个一维数组dp来代替传统的二维数组。

def knapsack(weights, values, capacities):
 n = len(values)
 dp = [0] * (capacities +1)

 for i in range(1, n +1):
 for j in range(capacities, weights[i -1] -1, -1):
 if weights[i -1] <= j:
 dp[j] = max(dp[j], dp[j - weights[i -1]] + values[i -1])

 return max(dp)

**为什么二进制优化有效**

二进制优化有效的原因是：我们只需要存储当前背包容量为j时，可以背包的最大价值。因此，我们可以使用一个一维数组dp来代替传统的二维数组。

在传统的解决方法中，我们需要存储每个物品背包的最大价值，这样就需要O(n * capacities)的空间复杂度。但是在二进制优化中，我们只需要存储当前背包容量为j时，可以背包的最大价值，因此只需要O(capacities)的空间复杂度。

**总结**

在本文中，我们讨论了多重背包---二进制优化。我们首先介绍了传统的解决方法，然后介绍了二进制优化技巧。最后，我们使用一个例子来演示二进制优化的有效性。

二进制优化是一种常见的技巧，可以用来降低动态规划的空间复杂度。在多重背包问题中，二进制优化可以帮助我们降低空间复杂度，从而更高效地解决这个问题。