算法：动态规划

**动态规划算法**

动态规划（Dynamic Programming）是一种常见的算法技巧，用于解决复杂的问题。它通过分解问题，逐步求解子问题，最终得到最优解。这种方法尤其适合于具有重叠子问题的递归问题。

**什么是动态规划？**

动态规划是一种将原问题分解为多个子问题，然后解决这些子问题，以达到最终目标的算法技巧。每个子问题的解可以被缓存起来，以避免重复计算，从而提高效率。

**动态规划的步骤**

1. **分解问题**: 将原问题分解为多个子问题，每个子问题都有明确的界定。
2. **求解子问题**: 逐一解决每个子问题，直到所有子问题都被解决。
3. **缓存结果**: 每次解决一个子问题后，将其结果缓存起来，以避免重复计算。

**动态规划的优点**

1. **高效率**: 动态规划可以显著提高算法的效率，因为它避免了重复计算。
2. **简洁性**: 动态规划通常比递归方法更简洁，更易于理解和实现。

**动态规划的缺点**

1. **难度**: 动态规划需要对问题进行深入分析，并且需要了解如何分解问题和缓存结果。
2. **空间复杂度**: 动态规划可能需要额外的空间来缓存结果，这可能会增加算法的空间复杂度。

**动态规划的例子**

###1. 最长上升子序列（Longest Increasing Subsequence）

给定一个整数数组 `arr`，请找出最长上升子序列的长度。

def longest_increasing_subsequence(arr):
 n = len(arr)
 # 动态规划表格 dp = [[0] *2 for _ in range(n)]
 # 初始化动态规划表格 for i in range(n):
 dp[i][0] =1 # 填充动态规划表格 for i in range(1, n):
 for j in range(i +1):
 if arr[j] < arr[i]:
 dp[i][0] = max(dp[i][0], dp[j][0] +1)
 # 返回最长上升子序列的长度 return max(max(row) for row in dp)

# 测试用例arr = [10,22,9,33,21,50,41,60]
print(longest_increasing_subsequence(arr)) # 输出:5

def longest_common_subsequence(str1, str2):
 m = len(str1)
 n = len(str2)
 # 动态规划表格 dp = [[0] * (n +1) for _ in range(m +1)]
 # 初始化动态规划表格 for i in range(m +1):
 dp[i][0] = i # 填充动态规划表格 for j in range(1, n +1):
 for i in range(1, m +1):
 if str1[i -1] == str2[j -1]:
 dp[i][j] = dp[i -1][j -1] +1 else:
 dp[i][j] = max(dp[i -1][j], dp[i][j -1])
 # 返回最长公共子序列的长度 return dp[m][n]

# 测试用例str1 = "AGGTAB"
str2 = "GXTXAYB"
print(longest_common_subsequence(str1, str2)) # 输出:4

def minimum_edit_distance(str1, str2):
 m = len(str1)
 n = len(str2)
 # 动态规划表格 dp = [[0] * (n +1) for _ in range(m +1)]
 # 初始化动态规划表格 for i in range(m +1):
 dp[i][0] = i # 填充动态规划表格 for j in range(1, n +1):
 for i in range(1, m +1):
 if str1[i -1] == str2[j -1]:
 dp[i][j] = dp[i -1][j -1]
 else:
 dp[i][j] = min(dp[i -1][j], dp[i][j -1]) +1 # 返回最小编辑距离 return dp[m][n]

# 测试用例str1 = "kitten"
str2 = "sitting"
print(minimum_edit_distance(str1, str2)) # 输出:3