【前缀和优化DP】ABC 222D

**前缀和优化DP**

在动态规划（DP）中，前缀和是一种常见的优化技巧。它可以帮助我们减少计算量，从而提高算法的效率。

**什么是前缀和？**

前缀和是指将一系列数字的前缀部分相加得到的结果。例如，如果我们有一个序列`[1,2,3,4,5]`,那么它的前缀和为：

* `1`
* `1 +2 =3`
* `1 +2 +3 =6`
* `1 +2 +3 +4 =10`
* `1 +2 +3 +4 +5 =15`

前缀和可以帮助我们快速计算某个范围内的数字之和。

**如何使用前缀和优化DP？**

在DP中，我们经常需要计算某个状态的值，这个状态可能依赖于之前的状态。例如，在背包问题中，我们需要计算每个物品的最大价值。

我们可以使用前缀和来优化这个过程。假设我们有一个序列`[1,2,3,4,5]`,我们想计算每个范围内的数字之和。例如，求出 `[1,2,3]` 的和，我们可以直接使用前缀和 `6`。

同样，在DP中，我们也可以使用前缀和来优化状态之间的转移。例如，如果我们有一个状态 `dp[i-1][j]`，我们可以使用前缀和来快速计算 `dp[i][j]`。

**示例代码**

def prefix_sum(arr):
 """
 计算数组的前缀和。
 Args:
 arr (list): 数组。
 Returns:
 list: 前缀和列表。
 """
 n = len(arr)
 prefix = [0] * (n +1)
 for i in range(n):
 prefix[i +1] = prefix[i] + arr[i]
 return prefixdef dp_example():
 """
 动态规划示例。
 Returns:
 int: 最终结果。
 """
 # 初始化前缀和 prefix = prefix_sum([1,2,3,4,5])
 # 初始化DP表格 n = len(prefix) -1 dp = [[0] * (n +1) for _ in range(n +1)]
 # 填充DP表格 for i in range(1, n +1):
 for j in range(i, n +1):
 # 使用前缀和优化状态之间的转移 dp[i][j] = max(dp[i -1][j], prefix[j] - prefix[i -1])
 return dp[n][n]

print(dp_example())