AtcoderABC309场

**AtCoder ABC309 场**

### **D. 数组中的最大子序列**

#### **题目描述**

给定一个长度为 $n$ 的整数数组 $a_1, a_2, ldots, a_n$，其中每个元素都是非负整数。请找出一个长度为 $k$ 的子序列，使得它的和最大。

#### **输入格式**

* 第一行：两个整数 $n$ 和 $m$，分别表示数组 $a_1, a_2, ldots, a_n$ 中元素的数量，以及子序列中允许出现的最大元素个数。
* 第二行：$n$ 个非负整数 $a_1, a_2, ldots, a_n$，表示数组中的每个元素。

#### **输出格式**

*一个整数，表示长度为 $k$ 的子序列的最大和。

#### **样例输入**

53048910

#### **样例输出**

28

### **解决方案**

我们可以使用动态规划来解决这个问题。首先，我们定义一个长度为 $n$ 的数组 `dp`，其中 `dp[i]` 表示以 `a_i` 为结尾的子序列的最大和。

然后，我们遍历每个元素，并根据以下规则更新 `dp`：

* 如果当前元素小于或等于前一个元素，则将其添加到前一个元素所构成的子序列中。
* 否则，将其作为新子序列的开头。

具体来说，我们可以使用以下代码来实现这一点：

cpp#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
 int n, m;
 cin >> n >> m;
 int a[n];
 for (int i =0; i < n; i++) {
 cin >> a[i];
 }
 int dp[m +1][n]; // dp[i][j] 表示以 a[j] 为结尾的子序列中，元素个数为 i 的最大和 for (int j =0; j < n; j++) {
 dp[1][j] = a[j];
 }
 for (int i =2; i <= m; i++) {
 int max_sum = -1;
 for (int j =0; j < n; j++) {
 if (a[j] > dp[i -1][j]) {
 dp[i][j] = a[j];
 } else {
 dp[i][j] = dp[i -1][j];
 }
 max_sum = max(max_sum, dp[i][j]);
 }
 cout << max_sum << endl;
 }
 return0;
}

### **注释**

* 我们首先读入两个整数 `n` 和 `m`，分别表示数组中元素的数量和子序列中允许出现的最大元素个数。
* 然后，我们读入长度为 $n$ 的整数数组 `a_1, a_2, ldots, a_n`。
* 我们定义一个长度为 $m +1$ 的二维数组 `dp`，其中 `dp[i][j]` 表示以 `a_j` 为结尾的子序列中，元素个数为 $i$ 的最大和。
* 我们首先将每个元素添加到前一个元素所构成的子序列中，以便 `dp[1][j] = a[j]`。
* 然后，我们遍历每个元素，并根据以下规则更新 `dp`：
* 如果当前元素小于或等于前一个元素，则将其添加到前一个元素所构成的子序列中。
* 否则，将其作为新子序列的开头。
* 最后，我们输出长度为 $k$ 的子序列的最大和。

### **时间复杂度**

*读入两个整数 `n` 和 `m`：$O(1)$*读入长度为 $n$ 的整数数组 `a_1, a_2, ldots, a_n`：$O(n)$* 初始化二维数组 `dp`：$O((m +1) cdot n)$* 遍历每个元素并更新 `dp`：$O(m cdot n)$* 总时间复杂度：$O(n + m cdot n)$### **空间复杂度**

* 使用二维数组 `dp`：$O((m +1) cdot n)$