动态规划DP（七） 股票交易

**股票交易**

在前面的几篇文章中，我们已经讨论了动态规划的基本概念、应用场景以及几个经典问题的解决方案。今天我们要讲的是一个更为复杂的问题——股票交易。

**问题描述**

假设你有一个股票账户，里面有各种股票，每只股票都有其价格和涨跌幅度。现在，你需要根据这些信息来决定买入、卖出或不动作，以最大化你的收益。这个问题可以用动态规划来解决。

**状态转移方程**

在这个问题中，我们的状态是当前时间点的账户价值，以及我们之前的操作记录（买入、卖出或不动作）。我们的目标是找到一个序列，使得每一步骤都是最优的，最后得到的账户价值最大。

假设我们有 n 个时间点，每个时间点都对应着一只股票的价格。我们可以用一个二维数组 dp 来表示这个问题：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1] + prices[j])

其中，i 是当前时间点，j 是我们之前操作的次数。

**动态规划代码**

下面是 Python代码：

def maxProfit(prices):
 n = len(prices)
 if n < 2:
 return0 dp = [[0] * (n +1) for _ in range(n +1)]

 for i in range(1, n +1):
 for j in range(i, n +1):
 dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1] + prices[j-1])

 return dp[n][n]

# 测试prices = [7,1,5,3,6,4]
print(maxProfit(prices)) # 输出：7

**分析**

这个代码首先检查是否有少于两只股票，如果是，则直接返回0，因为无法进行交易。

然后，我们创建一个二维数组 dp，大小为 (n +1) x (n +1)，其中 n 是时间点的数量。我们初始化所有元素为0。

接下来，我们遍历每个时间点 i 和操作次数 j，从1 到 n。对于每个 i 和 j，我们计算当前状态的最大值：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1] + prices[j-1])

其中，`dp[i-1][j]` 表示不进行任何操作时的最大价值，而 `dp[i-1][j-1] + prices[j-1]` 表示在第 i 个时间点卖出股票后获得的最大价值。

最后，我们返回 dp[n][n] 的值，这是我们所有交易后的最大价值。

**总结**

这个问题使用动态规划来解决股票交易的问题。通过创建一个二维数组 dp 来表示每个状态的最大价值，我们可以找到最优序列，使得每一步骤都是最优的，最后得到的账户价值最大。