数学建模——TOPSIS法

**数学建模——TOPSIS法**

在决策理论中，多属性决策（MADM）是指在决策过程中涉及多个属性或目标的决策问题。TOPSIS法是一种常用的MADM方法，它通过比较各个方案的优劣来确定最优方案。

**TOPSIS法原理**

TOPSIS法的核心思想是：首先，根据给定的数据集，计算出每个方案的正向和负向属性值，然后利用这些值计算出每个方案的综合评分。最后，比较各个方案的综合评分，选择综合评分最高的方案作为最优方案。

**TOPSIS法步骤**

1. **数据准备**: 将决策问题中的数据集转换为矩阵形式，每列代表一个属性，每行代表一个方案。
2. **正向和负向属性值计算**: 根据给定的数据集，计算出每个方案的正向和负向属性值。正向属性值表示该属性对决策问题的贡献程度，而负向属性值则表示相反的贡献程度。
3. **综合评分计算**: 利用正向和负向属性值计算出每个方案的综合评分。综合评分越高，表明该方案越优。
4. **最优方案选择**: 比较各个方案的综合评分，选择综合评分最高的方案作为最优方案。

**TOPSIS法数学公式**

假设有 n 个方案，每个方案有 m 个属性。我们将每个方案的正向和负向属性值表示为：

* 正向属性值：$r_{ij}$（i=1,2,...,n；j=1,2,...,m）
* 负向属性值：$b_{ij}$（i=1,2,...,n；j=1,2,...,m）

综合评分计算公式：

$$S_i = sum_{j=1}^{m} (r_{ij} - b_{ij})$$最优方案选择公式：

$$text{Optimal Scheme} = argmax S_i$$**Python代码示例**

import numpy as npdef topsis(data):
 # 正向和负向属性值计算 r = data.max(axis=0)
 b = data.min(axis=0)

 # 综合评分计算 s = np.sum((r - b), axis=1)

 # 最优方案选择 optimal_scheme = np.argmax(s)

 return optimal_scheme# 示例数据data = np.array([[10,20,30], [40,50,60], [70,80,90]])

# 执行TOPSIS法optimal_scheme = topsis(data)
print("最优方案:", optimal_scheme +1) # 最优方案索引从0开始，+1表示转换为实际索引